日历

2025 - 1
日 一 二 三 四 五 六
   1234
567891011
12131415161718
19202122232425
262728293031 
«月» 2025 - 1 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 z=*<7>A1;  
9ArEG4niu"  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. pTfAH_^d)  
`wC>7$y)Z  
　　1、三角函数本质： dY`6{Kgu  
`; ^wV  
　　三角函数的本质来源于定义 xliO 4CY.  
pf0p]54(3N  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 y ]<?9k7  
C]h|>wR7}  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 K/[Y#y4g  
&l\(PMQ:T  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 1es PUxk%  
0]etA3^k  
　　推导： F[[Uja:m  
;WXjg]v  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。  A&+2$  
a;4aHxIR  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) jw_EPnE 6  
$[]OnSpl  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ]CU:XS i  
1u\I+K#RA  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ckw}?]=  
4q9ou_^v  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） |\&Lqj  
,]<;FHKl7  
　　[1] ` _>nIW  
`J@O,jED  
　　两角和公式 W '~kvyqv  
^8JM,OJa[  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB bz=R-.$gL  
?8vq1  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  7zi0BSu  
H(@fvxY=  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB I|NG5'^  
>f+G]Da%  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB <E )"l  
U#C"0`  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ` "m/F|u  
|1t*:jCU  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) SrU AOZv  
Dzj{p=Wr`  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  4:D#^ V  
kA{rX0Z 36  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) wD'Dks6  
%sIkf=<  
倍角公式 "MEo{<g  
Gf} 9m+  
　　Sin2A=2SinA•CosA MYx"_&_v  
0~di|!I$  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 HgL%A k  
#\vFz40U  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 8.<fE:eiE  
62CpTPz]s  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） onZGp1  
dkV)t C`  
三倍角公式 )f2+?6a][  
WPI`:N2}  
　　 :s:f{c-/Gg  
0YruSo>L  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 6G?Z@\ 3  
5O_-e  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) % {!Ey0Y  
 G15uydv  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ?|DZwZDp  
VS+fw-"  
三倍角公式推导 '`k1c_  
Icp Ek,J0  
　　sin3a $vr:` !oy  
BJFq:dM?  
　　=sin(2a+a) Ut{e.PDWi  
UG~ rJ  
　　=sin2acosa+cos2asina F2~i }i  
.W0.'jjM  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ^ /oS$  
yv9(#zi[ f  
　　=3sina-4sin³a {b~fk%M3  
aOM)k'  
　　cos3a a|KMTF%  
# 6e S 0  
　　=cos(2a+a) g$*]|U>bWr  
a&0z|!I/  
　　=cos2acosa-sin2asina +|G`( l0R  
5\$*ax=A  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ~-U./roF  
IU2#1'5%  
　　=4cos³a-3cosa _ 1#t8  
B}`*px>B  
　　sin3a=3sina-4sin³a s{12KDS]  
4`7dy4?  
　　=4sina(3/4-sin²a) |Ew:t   
{vh*}: mX4  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 'zZ^|  
13oa;Ug1  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Hx(W~?A;"]  
,CJ0zne?`  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) CSK<0  
S3";ApxG  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 4=1lr4u(p  
|Vc~@  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) R/5DLE{I  
;pz>6E9  
　　cos3a=4cos³a-3cosa _yW!q~.5|p  
<u9n E:I  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ~r@mgq  
z|k$p(^  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] r]>ruZAs*  
|/*KpLO  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) YLkr!7n!e  
-pEPB` _{  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Vk%%@K(r  
ZW!|1!T  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} EwRZ4R26  
d(oFK|z>!  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) @6eK !Nz{S  
ky!Np`? "  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 81 #T#V  
5#a>E0dmU  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] p!CD%cVg;  
\.|s.FPl  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)  |OG 2  
^T?7>e?L  
　　上述两式相比可得 /WSi,6 r4  
E 9.<&2f  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) \V_eNy.  
{'m : !C  
半角公式 n{fT7m  
6=o=}]{  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 8i"[@ K3  
a|Y%b={aR^  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. k4Y10lwY  
2S,XAMid  
和差化积 teg,J=  
F,o9k:   
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] W+.3*4gR  
SV E.Ni*  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 9kv@`ss  
x,KeTuBn"  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ge4!>l{%  
0P"pJ6x[  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] o;GWe1  
@"L;Q|0b|  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) \nP$Z6%z=  
b/Um nL[G  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) &m%*C`7  
8 l" F(!O  
积化和差 ;/G7 9  
nivnl ?*  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] QsUq3,(%  
]ODa+`-  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] `>hI(&Q  
z8)&VL  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] h 0w*NNki  
fXw$4hn  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] g9$S ~t\  
j88\9F  
诱导公式 aSxR(+17  
&y/Nw+t^  
　　sin(-α) = -sinα [kkXW{z0  
>8W uE e6  
　　cos(-α) = cosα JP :ls?{  
Mb[/""%c  
　　sin(π/2-α) = cosα -3daS, L  
D{t?&vR/9  
　　cos(π/2-α) = sinα fYq8Y]R  
9)PqXRuMl  
　　sin(π/2+α) = cosα K+!5jl s  
y~T:/q)(  
　　cos(π/2+α) = -sinα X"f!`a*  
z(;@5v@c  
　　sin(π-α) = sinα =rbl4 B~C  
-Y=0kZ  
　　cos(π-α) = -cosα ^>yCh  
`8Tn,b  
　　sin(π+α) = -sinα -],M 4b-6r  
.N@%<9Z(  
　　cos(π+α) = -cosα `D8o^w7S  
NY-cX=$Y  
　　tanA= sinA/cosA ?3'8bW  
r9W24  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα # f(/ iX  
D9x4y1  
　　tan（π/2－α）＝cotα Vb0UTXl2/l  
{Cm^v }  
　　tan（π－α）＝－tanα SVX1jfv;  
fod Rm3HQ  
　　tan（π＋α）＝tanα z&=O7"/  
VuN^~-  
万能公式 -d9HV =nL  
"Nq%eS*  
　　 A7FskoH7F  
zN"wqChPe  
其它公式 T99 >xI:  
Ur%2:A~C  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 G;O5 V_  
"DVL]b:  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 |P5.bR  
Nmyy;#J&  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 zlE6|  
%TD lP$j  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 s\,I0yOO  
Qm_UPp )  
　　对于任意非直角三角形,总有 ?T]/f(,8Xp  
V|IGhTv)  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (9I1y+V d  
tCQ T]nT(  
　　证: e O)Sq|GT  
e*`h.&t(  
　　A+B=π-C dx-s{U6  
XQFw) 6Wo  
　　tan(A+B)=tan(π-C) IlO#3|fC  
<,sN_u/  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) mFjQx ~  
%~#D((cC  
　　整理可得 7 K9=iUt  
ONFBx) E2e  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC |:9p r  
L/`Y5[sC  
　　得证 *|,w q7  
Ov {`%ht  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ^Qq@8|V  
SxTdG/z)_  
其他非重点三角函数 EHxk:i;D  
]0P=ip   
　　csc(a) = 1/sin(a) |U8rZ.}KXd  
9o?n3{8  
　　sec(a) = 1/cos(a) ot %}5p  
GvZg )+c  
　　 =V $i\+  
!EEa~ (  
双曲函数 pB,".ASC  
<sP10PrHq  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 -7|?l,kq1  
` sPo  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 38A0]=k  
_C7[t$G/u  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) # ;%*x/  
(hWcA6"a n  
　　公式一： wtSczjBf  
?O:2[.Z  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： MqPf{dEzb  
[emEi$m  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ?AY~UP  
8~~i~lq  
　　cos（2kπ＋α）= cosα `<) tx  
!X\xA~-qmI  
　　tan（kπ＋α）= tanα Hp l;X g  
<AzL\=$3_  
　　cot（kπ＋α）= cotα 8<#z?_^*  
[H ex!>=  
　　公式二： @FZwA2@k  
K< 5|  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： | ^<OnB{$}  
[f:Zy-sQ  
　　sin（π＋α）= -sinα 0d 5 pz[f~  
EH -pM ZJ  
　　cos（π＋α）= -cosα -JJfp=j  
{<b<=`>  
　　tan（π＋α）= tanα u]6O2  
me{mI 2  
　　cot（π＋α）= cotα |`_22 7  
lD(O]}u  
　　公式三： OAXqLMI}   
 ku4 GD  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： & S>!Ej  
qhA']a8X4  
　　sin（-α）= -sinα WcQ|puK  
o:ai7[Cd  
　　cos（-α）= cosα %34{W% uV  
C-5|nM]]  
　　tan（-α）= -tanα O>ebV  
mSW9P'8f  
　　cot（-α）= -cotα +`*ht  
$Jno_gn  
　　公式四： {E.*kjU%  
p7z/ygW .M  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： =CLR%|ea  
Bva5(2;~)  
　　sin（π-α）= sinα H:<~Nh);  
#9{>y*kyq  
　　cos（π-α）= -cosα ;G{T=#D /  
}r_aUB=*rn  
　　tan（π-α）= -tanα +P,_Nq_d6  
~&Yn2w5  
　　cot（π-α）= -cotα uw2 }8  
|$xJk*$  
　　公式五： ^xi/VEg#  
X)i.s 8w  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： %P$<# `Y&  
UxDt23  
　　sin（2π-α）= -sinα NrhknNh  
FvEZV.K  
　　cos（2π-α）= cosα bxFV52oC~  
N`Y' 8O  
　　tan（2π-α）= -tanα 23>LOkH-  
_$<Yw2YuxQ  
　　cot（2π-α）= -cotα cOQ&w<$3;  
nDb/9)?qoj  
　　公式六： R_122m Qry  
7-f:P[   
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： nR)iQ vc"  
Kw6^ }Nj}s  
　　sin（π/2+α）= cosα '=*\te+=r  
DL}U*;49  
　　cos（π/2+α）= -sinα Cx*C   
`W@pHWn\  
　　tan（π/2+α）= -cotα H@9l,20E  
G^(Bl5.Rt3  
　　cot（π/2+α）= -tanα 7c4=;-9$  
<YG0#<  
　　sin（π/2-α）= cosα _ItI%#bT&  
'T`L9DWi  
　　cos（π/2-α）= sinα g(XI'EF*@  
1Z/l1jx(  
　　tan（π/2-α）= cotα t`$j- [)  
@D1:+)ne  
　　cot（π/2-α）= tanα C~rvlI2  
*1Sp<%4"  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 2{Z6D>1|   
xXC^S ]  
　　cos（3π/2+α）= sinα 0\ #vV  
vRzb &`@L  
　　tan（3π/2+α）= -cotα q:w4u</Qkf  
lr}Cd'O  
　　cot（3π/2+α）= -tanα yy|sy-|  
CDfz\eR  
　　sin（3π/2-α）= -cosα Lt' c/D2  
g>jqAPr  
　　cos（3π/2-α）= -sinα [sO1>99[6  
~S{`?A7vK  
　　tan（3π/2-α）= cotα 9 GkM=?2|]  
Gd>b S`  
　　cot（3π/2-α）= tanα !Xc WpJN  
&6Kp^Lc  
　　(以上k∈Z) :2h4<L&Vf  
@<kw^?zfB  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 b"18R!YEL  
Kz 5>m]"<u  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = E7xk,+b5~  
}U+QVWU  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } =$3bC0L+6  
{a4hK<L  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15347) |  收藏