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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 'DBq.7Vqo  
ZJtoCNy9  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. iF rJW|  
P^UK(  
  1、三角函数本质: j (bhsVi  
^I4}w~ ?G  
  三角函数的本质来源于定义 UN `p)CK  
Weap =]|  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。  5Q\Ik&  
)A-Z1IB#P  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导  .$m;wK*~  
L$Mk"7\*  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: SLU-!|hJ.&  
$.Y-j2?UT[  
  推导: /.jrxO  
K7AS(r6"  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 (Njf 5=|  
^XA!w9  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) =8O^3e!2[  
4}c5]0l=c  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) uK2z):o_  
LY7k:S  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Z;HqbK7  
$_ne38,-J  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) @7=yxS+^  
{{k6|io'  
  [1] ;V }'idn  
]o| e[pz?  
  两角和公式 nA^b2  
5"FQY<d   
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB gr*bOzJ]a  
2,#fm3  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  [T$6pd(#(  
LDkvix^WT  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB .D z=kz  
u"J0<" 20  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB mU;2ZP%gF  
J9]7@5{  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) A`[BDd;y  
jI_9nnj)^  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) d|jAG=Ajmr  
)ZFKV#,Y  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  4H)HlQwn  
#4XO*}v 9  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) LDmSZ[ ?  
 iK>7P5  
倍角公式 uZX*36W}  
Ad2(l[g  
  Sin2A=2SinA•CosA AUd6| R  
'!t/Pu2Gq  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 h`Eb: \  
aGrct@S|)E  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) ?>p9CuO>  
)XNTZ}Yk  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) )>YCe:  
o\5c Y"  
三倍角公式 m&6~ :  
swctk{eg  
    H<\WCCk  
>{Q]f S  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Ry0#Oho  
K G_k1a+  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) KKp} ,$  
37= VJeC=  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) oM{2nIn  
''XavoF"=  
三倍角公式推导 U&pz>G(H  
28iP]cW~  
  sin3a zV2h0 0  
LZm& 8  
  =sin(2a+a) ty pg Yr  
oORxBh[ a  
  =sin2acosa+cos2asina eR@cBc@E  
IF$(4N}  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Jnw_'w-~  
` xV9Xs  
  =3sina-4sin³a a6 @ek3<  
,D@}H4ZU6  
  cos3a FF<-(  
$tPG!:V  
  =cos(2a+a) )(I`9"3G3r  
tLq*+/9a  
  =cos2acosa-sin2asina 1TH- 8EN  
 ["x Bq  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa @_5d`W7  
0wd-kAL  
  =4cos³a-3cosa g.z-rDAR  
f2d]]P'  
  sin3a=3sina-4sin³a n#J |,7$q  
# trbd $.  
  =4sina(3/4-sin²a) %m=iXp  
]nwHS@K??  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] a;Tmv&CzW  
6\!P*-v  
  =4sina(sin²60°-sin²a) T]M[RI}U  
eo.EyOv(C  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) }C} cVw q  
wu-MTa  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] nXX!SyPqQE  
JG1dcwy D8  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 8r"'.H/9G  
.b\ZihcMO  
  cos3a=4cos³a-3cosa 5hs)vzz]s  
z| Q%"bqRT  
  =4cosa(cos²a-3/4) QREK%)  
&L$A~wAjKQ  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] z_,`sR2  
2gz]#E0';  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) \d,7{P  
|xq^7mB  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) f&3iH\4  
68M"<^R?|1  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ,iXf` C B  
.BoWbpm5:  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ~_;=4627"  
/^bJG?/ywl  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] x0TnPtQ  
kEl|:?~G  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] V1yV8[9w  
o5`Ov-Z6s  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) qqpE mo  
9sC >c  
  上述两式相比可得 ZzGPO;:o  
Hx/p#Y6 :  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ! %jLc9s  
~dY~o)F{}  
半角公式 'p/tcbn  
 >9&S|HN  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 4&5 &pI;rx  
F`~>*\[;N  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. u\u;yhZ.  
r Eu$kH  
和差化积 BP a!`Az  
\I55;   
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] U^NZH}qAE  
+v{A%:   
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] =M\/?;y,  
S)9)~vti9  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ]vo,w=Z2  
[0h zo V  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] # Ho[Z]Lv  
IA>aX=  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) "q<Z/  
f|oOw ?   
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 'IEDsGo  
ErPOa?R  
积化和差 Lv jfb  
;a_16-[  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] u X$83C1^^  
HD_I}Lq2H  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] !w7#d5]'  
%m+BVr2Uw5  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] I"wk@Wk Q  
jUw9StkKq  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] %2aU~f  
S, @zv  
诱导公式 #s0#"ZqA  
aun| &nk(  
  sin(-α) = -sinα 1'Z5 RO  
jfr 87V  
  cos(-α) = cosα Y92# yqZ  
UDZx.S~FR6  
  sin(π/2-α) = cosα apRx4&5.  
!_pwH&~I  
  cos(π/2-α) = sinα dM`jtLYS  
U ngi M3  
  sin(π/2+α) = cosα \_4&ZX`  
!tX48  
  cos(π/2+α) = -sinα =SW8:d"z  
-gi$j!4 !  
  sin(π-α) = sinα sv ')g  
oa!wz%2  
  cos(π-α) = -cosα URp|b_UakZ  
=5K<iPf   
  sin(π+α) = -sinα 2L>Cu7yU  
rc`6Y7V92?  
  cos(π+α) = -cosα ='OWYOg i  
&2@.k:e  
  tanA= sinA/cosA }Mse?rIy  
)?s[0J  
  tan(π/2+α)=-cotα C@& Dm5OS  
7m0)I  
  tan(π/2-α)=cotα NW&&#iY4N  
Z#1"W0lMD8  
  tan(π-α)=-tanα (R0W8}"4  
shg &@6d  
  tan(π+α)=tanα TzuIe(oie  
MRX;G\4x^  
万能公式 ~I%/a$n+F-  
Y:`JlJY'  
   }E{=S@AlQ  
7@0#S  
其它公式 f; <r.P  
+*F3tUr  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 jQ+0+,oLD  
 2?bH+W#_  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 ^4_B'_-[  
S&x^]Ye  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 e#Fj,"z+{  
ryn;-1*~R  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Iu +qj*  
J C~?%(+  
  对于任意非直角三角形,总有 \Ho9&v+R}  
4b.dtkx  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Q2Lknr>  
]`G-_4[c  
  证: l] Adu'2  
/ElbW*J.x  
  A+B=π-C 0^4Kz ~]K  
d9S([2~6  
  tan(A+B)=tan(π-C) (R)@'*u4  
N`N`JqIJ  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) BDL-PKM*_\  
7N02NYA  
  整理可得 p~t U={t^/  
|q&(Z0o^  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC :<e=rS@  
!*8\;fc  
  得证 HvTC8Jic  
n*4(YfL] g  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 aByof*  
7 t hTl>  
其他非重点三角函数 %2!q 5{1  
~|nbx.-x]  
  csc(a) = 1/sin(a) r;Ofa5 MN  
zH`-WfR*S  
  sec(a) = 1/cos(a) TPnGC^O  
Sz 1je x  
   $ Y$C LGX5  
!I}N g  
双曲函数 v"'ie&*G1  
3M:O**1J6  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 co;0 VcCfN  
=P]_Jt  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 .kc{@T75_R  
6hDLn   
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 2#`Z9<k)  
!OE7$  
  公式一: Y`~jGFX  
_|xW#>  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: f7:k^+2!  
mj 8v,  
  sin(2kπ+α)= sinα ^Bd/*2Q  
=qKK4dN  
  cos(2kπ+α)= cosα +DP[=OE q  
[S0bK6Z?  
  tan(kπ+α)= tanα U2We7eqC)[  
;"B==3{  
  cot(kπ+α)= cotα Ka| ~3I  
9Y&ie9Z<0  
  公式二: )Q"U?|&  
LSE(ByW$  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: zfiqKc0]D  
KRNi2D65\  
  sin(π+α)= -sinα ;}fnX=V-  
MeL 1K9  
  cos(π+α)= -cosα /TiO8\(W{?  
0hK=L>.JJ  
  tan(π+α)= tanα g)q=4$#.Vx  
[{u> ,  
  cot(π+α)= cotα YIj&lx1O  
9:&^lt6Z  
  公式三: ){Gpkkm6X  
^ L{qV^9  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: G:OO5bUH  
GN }ra.K}  
  sin(-α)= -sinα p"'hCoc  
?Jj$Ijb  
  cos(-α)= cosα u|]fJB`  
'I@7dYk\<  
  tan(-α)= -tanα \B]K{TC  
x;rdh_D(0  
  cot(-α)= -cotα !9fcy<~Q  
Rd:j" N?~  
  公式四: IY 5jARd  
UIM  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: ["TadY!0:  
#`To.c=y  
  sin(π-α)= sinα [vLsaY}Z  
+pg;5J{  
  cos(π-α)= -cosα 9y|B`J`^  
M'wt}d_D  
  tan(π-α)= -tanα [a 8m^h&~r  
$(xnAYAYF  
  cot(π-α)= -cotα {' NOg%P  
v=S8.{, N  
  公式五: wN w)hxJ  
- 8h:j8aS  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: 3 v,MfIct  
)ce\ "x  
  sin(2π-α)= -sinα KV'^{=xY]  
GRxOE gxR  
  cos(2π-α)= cosα ?tTB`y@<_  
)' 6h( 1  
  tan(2π-α)= -tanα -"np)LR  
;7}y nA  
  cot(2π-α)= -cotα ;16F\coG  
~IaWEXr  
  公式六: eI=l!9- (  
iedLlaY  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: 9N>5kHO(  
F_?pJiLy!  
  sin(π/2+α)= cosα &YI#rPzd  
Ti3/7``  
  cos(π/2+α)= -sinα S Iqkj\  
4]Pe7M?  
  tan(π/2+α)= -cotα 9%tq`T  
>id(_^Ck  
  cot(π/2+α)= -tanα +j[ytJm  
maRUS #  
  sin(π/2-α)= cosα _ ]mzD}N  
\d 1nW$ s  
  cos(π/2-α)= sinα 0O("kAQos  
B'pRJ'nk  
  tan(π/2-α)= cotα _\,6-f_  
U.Mu_A@4*2  
  cot(π/2-α)= tanα z% n)A4  
YH%#$=-  
  sin(3π/2+α)= -cosα %I $=.On  
.P= l^B  
  cos(3π/2+α)= sinα 7d ,lB&N  
 jMw_GT  
  tan(3π/2+α)= -cotα suj#?5? @  
I@-I&P%r#  
  cot(3π/2+α)= -tanα ]5B?uE=4k  
N(U]6a[sWd  
  sin(3π/2-α)= -cosα _'/@gI  
N^ ;l=SK2  
  cos(3π/2-α)= -sinα Jw5B/w}  
:}"4j;H  
  tan(3π/2-α)= cotα zNW?<C`O,  
$ 8K,"  
  cot(3π/2-α)= tanα ,PjnCsjb`  
4pt)pH:w'  
  (以上k∈Z) Zl8]kIa<  
/y0'GSt"(4  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 !v%e |n&@  
;)3y '[a4  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = +6&Y 4S%A+  
IrGUQ5|t}  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } KpFvD${;@  
Uv0yIi3PY  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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