三角函数内容规律 'DBq.7Vqo
ZJtoCNy9
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. iF
rJW|
P^UK(
1、三角函数本质: j(bhsVi
^I4}w~?G
三角函数的本质来源于定义 UN
`p)CK
Weap
=]|
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。
5Q\Ik&
)A-Z1IB#P
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 .$m;wK*~
L$Mk"7\*
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: SLU-!|hJ.&
$.Y-j2?UT[
推导: /.j rxO
K7AS(r6"
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 (Njf
5=|
^XA!w9
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) =8O^3e!2[
4}c5]0l=c
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) uK2z):o_
LY7k:S
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Z;HqbK7
$_ne38,-J
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) @7=yxS+^
{{k6|io'
[1] ;V }'idn
]o|e[pz?
两角和公式 nA^b2
5"FQY<d
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB gr*bOzJ]a
2,#fm 3
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB [T$6pd(#(
LDkvix^WT
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB .D
z= kz
u"J0<" 20
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB mU;2ZP%gF
J9]7@5{
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) A`[BDd;y
jI_9nnj)^
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) d|jAG=Ajmr
)ZFKV#,Y
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 4H)HlQwn
#4XO*}v9
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) LDmSZ[ ?
iK>7P5
倍角公式 uZX*36W}
Ad2(l[g
Sin2A=2SinA•CosA
AUd6| R
'!t/Pu2Gq
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 h`Eb:\
aGrct@S|)E
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) ?>p9CuO>
)XNTZ}Yk
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) )>YCe:
o\5c
Y"
三倍角公式 m&6~ :
swctk{eg
H<\WCCk
>{Q]fS
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Ry0#Oho
K G_k1a+
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) KKp},$
37= VJeC=
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) oM{2nIn
''XavoF"=
三倍角公式推导 U&pz>G(H
28iP]cW~
sin3a zV2h0 0
LZm&8
=sin(2a+a) ty pg
Yr
oORxBh[
a
=sin2acosa+cos2asina eR@cBc@E
IF$(4N}
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina
Jnw_'w-~
`xV9Xs
=3sina-4sin³a a6 @ek3<
,D@}H4ZU6
cos3a FF<-(
$tPG!:V
=cos(2a+a) )(I`9"3G3r
tLq*+/9a
=cos2acosa-sin2asina 1TH- 8EN
["x Bq
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa @_5d`W7
0wd-kAL
=4cos³a-3cosa g.z-rDAR
f2d]]P'
sin3a=3sina-4sin³a n#J |,7$q
#
trbd $.
=4sina(3/4-sin²a) %m=iXp
]nwHS@K??
=4sina[(√3/2)²-sin²a] a;Tmv&CzW
6\!P*-v
=4sina(sin²60°-sin²a) T]M[RI}U
eo.EyOv(C
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) }C}cVw
q
wu-MTa
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] nXX!SyPqQE
JG1dcwy D8
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 8r"'.H/9G
.b\ZihcMO
cos3a=4cos³a-3cosa 5hs)vzz]s
z|Q%"bqRT
=4cosa(cos²a-3/4) QREK%)
&L$A~wAjKQ
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] z_,` sR2
2gz]#E0';
=4cosa(cos²a-cos²30°) \d,7{P
|xq^7mB
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) f&3iH\4
68M"<^R?|1
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ,iXf`
C B
.BoWbpm5:
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ~_;=4627"
/^bJG?/ywl
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] x0TnPtQ
kEl|:?~G
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] V1yV8[9w
o5`Ov-Z6s
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) qqpE mo
9sC >c
上述两式相比可得 ZzGPO;:o
Hx/p#Y6
:
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) !%jLc9s
~dY~o)F{}
半角公式
'p/tcbn
>9&S|HN
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 4&5 &pI;rx
F`~>*\[;N
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. u\u;yhZ.
r
Eu$kH
和差化积 BPa!`Az
\I55;
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] U^NZH}qAE
+v{A%:
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] =M\/?;y,
S)9)~vti9
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ]vo,w=Z2
[0h
zo
V
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] # Ho[Z]Lv
IA>aX=
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) "q<Z/
f|oOw
?
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 'IEDsGo
ErPOa?R
积化和差 Lv
jfb
;a_16-[
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] u
X$83C1^^
HD_I}Lq2H
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] !w7#d5]'
%m+BVr2Uw5
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] I"wk@Wk
Q
jUw9StkKq
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] %2aU~f
S, @zv
诱导公式 #s0#"ZqA
aun| &nk(
sin(-α) = -sinα 1'Z5RO
jfr87V
cos(-α) = cosα Y92# yqZ
UDZx.S~FR6
sin(π/2-α) = cosα apRx4&5.
!_pwH&~I
cos(π/2-α) = sinα dM`jtLYS
UngiM3
sin(π/2+α) = cosα \_4&ZX`
!tX48
cos(π/2+α) = -sinα =SW8:d"z
-gi$j!4
!
sin(π-α) = sinα sv')g
oa!wz%2
cos(π-α) = -cosα URp|b_UakZ
=5K<iPf
sin(π+α) = -sinα 2L>Cu7yU
rc`6Y7V92?
cos(π+α) = -cosα ='OWYOg
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&2@.k:e
tanA= sinA/cosA }Mse?rIy
)?s[0J
tan(π/2+α)=-cotα C@& Dm5OS
7m0)I
tan(π/2-α)=cotα NW&&#iY4N
Z#1"W0lMD8
tan(π-α)=-tanα (R0W8}"4
shg
&@6d
tan(π+α)=tanα Tzu Ie(oie
MRX;G\4x^
万能公式 ~I%/a$n+F-
Y:`JlJY'
}E{=S@AlQ
7@0#S
其它公式 f;
<r.P
+*F3tUr
(sinα)^2+(cosα)^2=1 jQ+0+,oLD
2?bH+W#_
1+(tanα)^2=(secα)^2 ^4_B'_-[
S&x^] Ye
1+(cotα)^2=(cscα)^2 e#Fj,"z+{
ryn;-1*~R
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Iu+qj *
J
C~?%(+
对于任意非直角三角形,总有 \Ho9&v+R}
4b.dtkx
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Q2Lknr>
]`G-_4[c
证: l ] Adu'2
/ElbW*J.x
A+B=π-C 0^4Kz
~]K
d9S([2~6
tan(A+B)=tan(π-C) (R)@'*u4
N`N`JqIJ
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) BDL-PKM*_\
7N02NYA
整理可得 p~t
U={t^/
|q&(Z0o^
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC :<e=rS@
!*8\;fc
得证 HvTC8Jic
n*4(YfL]g
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 aByof*
7t hTl>
其他非重点三角函数 %2!q 5{1
~|nbx.-x]
csc(a) = 1/sin(a) r;Ofa5
MN
zH`-WfR*S
sec(a) = 1/cos(a) TPnGC^O
Sz1je x
$Y$C LGX5
!I}N g
双曲函数 v"'ie&*G1
3M:O**1J6
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 co;0VcCfN
=P]_Jt
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 .kc{@T75_R
6hDLn
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 2#`Z9<k)
!OE7$
公式一: Y`~jGFX
_|xW#>
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: f7:k^+2!
mj8v ,
sin(2kπ+α)= sinα ^Bd/*2Q
=qKK4dN
cos(2kπ+α)= cosα +DP[=OE
q
[S0bK6Z?
tan(kπ+α)= tanα U2We7eqC)[
; "B==3{
cot(kπ+α)= cotα Ka|
~3I
9Y&ie9Z<0
公式二: )Q"U?|&
LSE(ByW$
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: zfiqKc0]D
KRNi2D65\
sin(π+α)= -sinα ;}fnX=V-
MeL1K9
cos(π+α)= -cosα /TiO8\(W{?
0hK=L>.JJ
tan(π+α)= tanα g)q=4$#.Vx
[{u>
,
cot(π+α)= cotα YIj&lx1O
9:&^lt6Z
公式三: ){Gpkkm6X
^ L{qV^9
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: G:OO5bUH
GN }ra.K}
sin(-α)= -sinα p" 'hCoc
?Jj$Ijb
cos(-α)= cosα u|]fJB`
'I@7dYk\<
tan(-α)= -tanα \ B]K{TC
x;rdh_D(0
cot(-α)= -cotα !9fcy<~Q
Rd:j" N?~
公式四: IY 5jARd
UI M
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: ["TadY!0:
#`To.c=y
sin(π-α)= sinα [vLsaY}Z
+pg;5J{
cos(π-α)= -cosα 9y|B`J`^
M'wt}d_D
tan(π-α)= -tanα [a 8m^h&~r
$(xnAYAYF
cot(π-α)= -cotα {' NOg%P
v=S8.{,
N
公式五: wN w )hxJ
-8h:j8aS
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: 3
v,MfIct
)ce\"x
sin(2π-α)= -sinα KV'^{=xY]
GRxOE gxR
cos(2π-α)= cosα ?tTB`y@<_
)'
6h(
1
tan(2π-α)= -tanα -"np)LR
;7}y
nA
cot(2π-α)= -cotα ;16F\coG
~IaWEXr
公式六: eI=l!9-
(
ie dLlaY
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: 9N>5kHO(
F_?pJiLy!
sin(π/2+α)= cosα &YI#rPzd
Ti3/7``
cos(π/2+α)= -sinα S Iqkj\
4]Pe7M?
tan(π/2+α)= -cotα 9%tq` T
>id(_^Ck
cot(π/2+α)= -tanα +j[ytJm
maRUS #
sin(π/2-α)= cosα _
]mzD}N
\d
1nW$s
cos(π/2-α)= sinα 0O("kAQos
B'pRJ'nk
tan(π/2-α)= cotα _\,6-f_
U.Mu_A@4*2
cot(π/2-α)= tanα
z%n)A4
YH%#$=-
sin(3π/2+α)= -cosα %I $=.On
.P=
l^B
cos(3π/2+α)= sinα 7d,lB&N
jMw_GT
tan(3π/2+α)= -cotα suj#?5?
@
I@-I&P%r#
cot(3π/2+α)= -tanα ]5B?uE=4k
N(U]6a[sWd
sin(3π/2-α)= -cosα _'/@gI
N^;l=SK2
cos(3π/2-α)= -sinα J w5B/w}
:}"4j;H
tan(3π/2-α)= cotα zN W?<C`O,
$8K,"
cot(3π/2-α)= tanα ,PjnCsjb`
4pt)pH:w'
(以上k∈Z) Zl8]kIa<
/y0'GSt"(4
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 !v%e |n&@
;)3y'[ a4
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = +6&Y
4S%A+
IrGUQ5|t}
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } KpFvD${;@
Uv0yIi3PY
√表示根号,包括{……}中的内容
迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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