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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 &zM;<~<  
gZbii x  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. _-mm[ Jdp  
t&)PNS  
　　1、三角函数本质： %u8.?\-0  
W |-h l  
　　三角函数的本质来源于定义 <w@We \h  
^$2 g7  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 S [PH*L2z-  
iVt ub  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 ,< JH[   
LJ_K&h<  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： N 6., |r?S  
gJZL?D7  
　　推导： J}tGsrr0  
$8!73qfj  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 h-Vb{Ha  
} N= ~  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) @*S/<[  
7;O&], N  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) T:F4yMW%  
1QxN^}I![  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 IN )^k)R  
CDa<X(9  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） B3Jte>  
oBS5.f.  
　　[1] u\8iM'S  
B +skZ#AW6  
　　两角和公式 y y2g!(  
;E.e`J  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB G2ai^([  
!R3`l u#  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  -x1>:\Hv  
Pn"<B .  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 1<`WI6?  
WWQqXp>  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Y7N;"^nz  
t(7D>3f"  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) U P"j xl(  
1;C+rg0:  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ,u#:@Z$Zh  
NVG^~j2  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  aagZ,L:n  
_K21|6kE  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 8aP@9Lv0K  
mY="~j!M  
倍角公式 v#D <>%  
JQ/RND+J  
　　Sin2A=2SinA•CosA OG6a/o[xXL  
@ e (M@u  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 z[- IHWtY  
7PiBxC2  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） H_(j` T  
oa/ACwDQ:  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） fH.>7/.  
gnBzZ@m`  
三倍角公式 9|CZ@/coa  
s 95{X IdX  
　　 )k2-+1  
'&j@SRy?  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) d0=x 8;7  
F]CVvUZP%  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) P-$"M}  
sLf:X  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) N(:[{BlQy9  
.0D #_  
三倍角公式推导 d_C"i"  
lcU,C"|q)  
　　sin3a M2i +(-O  
Dv_eY3-E)  
　　=sin(2a+a) ,!6#6 t[  
7 0+Ak$  
　　=sin2acosa+cos2asina /2)pZ][nQg  
_)p',"  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina TKd`P6  
G-a#3`  
　　=3sina-4sin³a RoO(m"d=|  
;@.L[0  
　　cos3a Xli76^jJ<  
$@|Yw"eS  
　　=cos(2a+a) ^Eu)":7  
t0YwF%43  
　　=cos2acosa-sin2asina ?8ZwwJz_  
S"7'v  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Ym9=k F  
a^xYvEI  
　　=4cos³a-3cosa USA'@ c  
SM~r_-P  
　　sin3a=3sina-4sin³a 40:1kzS  
FU .ZhE  
　　=4sina(3/4-sin²a) "20S tk3  
^\e 5ap  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] dY vos.XZ  
Sb96(uQY  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) q$xCc ^  
,b 2)N  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) r2 foO*A  
T :Y1TN  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] :UVi|HPi  
;V5S8Xo  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) }q!m6  
advRiHY  
　　cos3a=4cos³a-3cosa O5ic}DS  
@~(< zrEhO  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 6"dA`w  
c$.9>)xq  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 3n2ZsiZ%  
BkX!=ej2.  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ><?gSJ\  
Z]#&VA  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) y"'z Tb1I  
]y\sxiW  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} t0JOO6XM  
V^<WSD>ee  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) *U=><9Zn;  
n /tS69~  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ]*"XSC  
%ipsamN  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] I'O(q&y  
&4EQl G<n  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) fq ^|3X+  
L7MG-Jx  
　　上述两式相比可得 qL R+<4C  
JJnl@T,T?I  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) K}vpE6 J  
dKi< C^RV  
半角公式 8-w;3-G?  
3&JQjRFiH  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); hyxQvm2  
zgtQ> gq  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. vfu"ux_V%  
HWBR^~_  
和差化积 O )JEb,  
.M3n%#i6[s  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] QqYw[:Qq  
XLSS< {\#  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] M/=qUD3rS  
o2GL2T  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] w;8m/VE-  
cc>8o1|y  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Mw4Z`7wD:8  
^ #X{v|'  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) T"s NG{e  
dou&V 3  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 2 |ZeA2I  
YP#\KHt2  
积化和差 #KRqFiMTqU  
;#^l2x) `  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] d&!"gsz  
>NY+>ZFoj  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] F{cW,z h  
as A"efa  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] #H*G{R\A  
kyKT<h-G  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] $'tB'K#   
CqQV,K   
诱导公式 SJZ3&I?LJ  
0f9 g'+;i2  
　　sin(-α) = -sinα HK uzoK3  
Qr:9=gjk  
　　cos(-α) = cosα iAQxc6{  
m :dm2.IJ  
　　sin(π/2-α) = cosα `HO+>UO  
ydRS0wMH  
　　cos(π/2-α) = sinα 7GY1kg23  
~IxW=75`Z  
　　sin(π/2+α) = cosα V ]{eDg[:  
X;]%% 4  
　　cos(π/2+α) = -sinα LV)l'hnFWu  
1&;b(QV`  
　　sin(π-α) = sinα m{.p^"  
n]bL7w<B e  
　　cos(π-α) = -cosα Z 4TNkaUw  
7BkSF,TpiK  
　　sin(π+α) = -sinα ]Z.{N~3  
hc~QPmz  
　　cos(π+α) = -cosα T- 3PB  
(WEic  
　　tanA= sinA/cosA \Z,+o:fE^  
K1_|Yt~  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα qh2QLh}_u  
sCKv Mv  
　　tan（π/2－α）＝cotα ^!aL1q:J  
( y>NE.ANL  
　　tan（π－α）＝－tanα &~jacn rs  
h9cR"+KoT  
　　tan（π＋α）＝tanα <:.PH5^  
`Z z/c3  
万能公式 `t pF Q  
6)vYl>  
　　 [ 84_*aq  
_svx~I u0  
其它公式 \4j* G  
srwrdWJD  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 $U;rU6SGyj  
y+ePFZ@1?Q  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 H)pBQR!L  
QOX3< 6  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ''fXn Ni$  
~Rof8  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ~\Y >5m  
Q~Jw*v  
　　对于任意非直角三角形,总有 frG{$&Kw  
wOF3Rp^  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ;4PDx5I_  
$ dtTt  
　　证: ei)Po:5  
51tsTR]Jv  
　　A+B=π-C  {@i  
j'[GO}CI[  
　　tan(A+B)=tan(π-C) zh][xB  
\S?kHqj  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) VRh|%D8  
KqSa N83}  
　　整理可得 gkzfl6[  
u\^ /-K$  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7*a !Om  
ry/ Z'E~  
　　得证 "HTG HC  
]TER\|T  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 !C +F 0(m  
CR5yT:6rJ  
其他非重点三角函数 gp\jU<0n  
M@<0, Br  
　　csc(a) = 1/sin(a) A`QGn  
r,ixUx 0A0  
　　sec(a) = 1/cos(a) *M{IV+"(  
}U4>c]8  
　　 4v9QoQ  
"^( 0c&l  
双曲函数 < #/i~ `,  
}l[g~Io8  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 6^|@+\.  
/KX#:R2  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 wv=u\ xn>  
#s_+I5z  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Zt=$^Q(}  
ZczB,1An 1  
　　公式一： 4Shog(l  
YGq~n HW  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： yE#{o  
kL5{!(r~q  
　　sin（2kπ＋α）= sinα D6a(- {W  
JbLWP5=  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 0aQ@$G>[  
^ GT+9  
　　tan（kπ＋α）= tanα `g!\%v  
.2%W>R  
　　cot（kπ＋α）= cotα (G krT5lRy  
GmpG&# *'  
　　公式二： H:.gsRW  
-.~?1#q  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 0#@g,Bd  
C+f5^ImDn  
　　sin（π＋α）= -sinα a3O/;  
gxDS| ;J  
　　cos（π＋α）= -cosα [Kx|6lM  
0W `L/K)  
　　tan（π＋α）= tanα [*:D{z Ss  
p%>'.Bs;  
　　cot（π＋α）= cotα E +D~-UO  
-J([>Uacw  
　　公式三： < .B'XOYv  
Oi1m%vS3  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： !*;>s:$~  
f}`iMNAc9  
　　sin（-α）= -sinα ;tMc6h-wi  
qv aArC[  
　　cos（-α）= cosα :6WDGo2r1  
>98p6g\x[  
　　tan（-α）= -tanα DkGZf>i-K  
fIm9T> !#  
　　cot（-α）= -cotα v>\I/,hpF  
B%Qsn]KK6O  
　　公式四： ELf_jd$sz  
X Vn`<  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： K>\>L:Y  
;f/OcyE  
　　sin（π-α）= sinα 5$4tSV*t  
!X' EFm\  
　　cos（π-α）= -cosα :v%Z"3i  
O\18LVtT"+  
　　tan（π-α）= -tanα }U42R>V  
3=T'XXh  
　　cot（π-α）= -cotα 2IClYU>G  
OQ&i(}}`  
　　公式五： FXK},d  
`Yn;G[$Id  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： C5mHG+^(b  
NnpMo WC  
　　sin（2π-α）= -sinα S {DyAF   
Te}?lCsXlB  
　　cos（2π-α）= cosα  )9Yf7v  
=2@B!C6  
　　tan（2π-α）= -tanα _Ie :lun  
no25hv  
　　cot（2π-α）= -cotα U`@qEZhB%  
0|EQbU  
　　公式六： LcW.,v0qo  
$ >AhL^  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： z ^8,p-  
g"`K=<l=k  
　　sin（π/2+α）= cosα T0S]l0&g  
T&'q6 ;*3  
　　cos（π/2+α）= -sinα _(l4}|  
6FS"vG7K+  
　　tan（π/2+α）= -cotα 2TP]S  
A?rhoc  
　　cot（π/2+α）= -tanα nCofYy?*  
EiU{L3:E  
　　sin（π/2-α）= cosα 5MJM$-/-  
_c*R%U qa!  
　　cos（π/2-α）= sinα A3H2(7t8+  
-`/Kq6Z }  
　　tan（π/2-α）= cotα '~ tqL%  
m=?>Ps-rK  
　　cot（π/2-α）= tanα =s'&@#~u  
o7EbFxCb+  
　　sin（3π/2+α）= -cosα :&;=B/yK  
x!<#_T3Vt  
　　cos（3π/2+α）= sinα _\AeS5U  
dkdr%BxQ  
　　tan（3π/2+α）= -cotα +S_ NxAq7  
p %>,:Z'  
　　cot（3π/2+α）= -tanα X$OKP#Bf  
wFDJe(2:  
　　sin（3π/2-α）= -cosα $i+@s*c  
AN`y-   
　　cos（3π/2-α）= -sinα i_f&|';Z  
an0t z  
　　tan（3π/2-α）= cotα nu9MmE  
$:SG }  
　　cot（3π/2-α）= tanα B,vnw  
Df{_GqSM  
　　(以上k∈Z) OZ7> )S!  
m9}tK  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 } ^ K9F  
AIf'o@6  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = N2yj+@H4x  
vsae.h'lG  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } #=qzcXc  
,9):uV~09u  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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